Да, ставится запятая.
Корректно: Возьмем любое шахматное поле, А1 например.
Винительный.
Лучше перефразировать, например: расширение сферы дипломатической деятельности (дипломатической сферы).
Форму мн. ч. (свекла, свекол...), однако она малоупотребительна. Корректно: на тарелке лежат свеклы (несколько), но на поле растет свекла (как сельскохозяйственная культура).
Верно: при таком-то поле.
Возможно раздельное написание. Но лучше: Поле не должно быть пустым.
Мужская фамилия Полей склоняется, женская нет. А где в паспорте может быть написано выдан + фамилия в косвенном падеже? В паспорте фамилия пишется в именительном падеже.