В этом значении форма мн. ч. практически не используется.
Из этих двух вариантов формально более верно раздельное написание.
Однако, на наш взгляд, лучше такой вариант: Ведение реестра жилых объектов на территории республики, строительство которых не завершено.
Спасибо за обстоятельный и толковый комментарий, обязательно учтем при редактировании "Справочника по фразеологии".
Все верно, только "пустынь" - со строчной буквы.
Общее правило: формы на -ие (в т. ч. сидение 'действие', везение) стилистически нейтральны и общеупотребительны; формы на -ье употребимы в разговорной и поэтической речи. Однако в ряде случаев формы на -ье могут быть основными или единственно верными. Так, правильно только сиденье в знач. 'место или предмет, на котором сидят'.
Верно раздельное написание: Зачем пустые, ничего не значащие слова?