В названиях литературных произведений пишутся с прописной буквы первое слово и собственные имена: «Крепкий мужик».

Нужно выделить вводное сочетание по счастью; обратите внимание, что в названии архитектурного объекта с прописной буквы пишется только первое слово: По счастью, главный из замков Кастельгранде (Большой замок) был еще открыт…

Нарицательные существительные, сохраняющие свое значение, не входят в имя собственное и не пишутся с прописной буквы. Такие сочетания, как витебский душитель, ангарский маньяк и пр., — это образные, публицистические обозначения убийц, а не прозвища в прямом смысле слова, где нарицательные существительные теряют свое значение (ср. Всеволод Большое Гнездо). Кавычки в такого рода условных обозначениях можно считать факультативными.

Согласно орфографической норме современного русского литературного языка в этом сочетании оба слова пишутся с прописной буквы: Беловежская Пуща.

Правильно: за передачу (чего?) фотоальбомов.

Обратите внимание на лишнюю запятую после КГМА и употребление прописных и строчных букв: с прописной буквы пишется только первое слово в названии организации и входящие в состав названия имена собственные: Кыргызская государственная медицинская академия им. Ахунбаева выражает искреннюю благодарность вам и коллективу Оренбургского государственного медицинского университета за передачу в дар музею истории КГМА фотоальбомов выпускников...

Не вполне понятно также, о каких годах идет речь. Выпускников 1949 и 1950 годов? Выпускников 1940-х — 1950-х годов?

Написание этих слов кодифцировано: чат-бот, нейросеть. Это нарицательные существительные, они пишутся со строчной буквы, но в начале предложения — с прописной. При склонении слова чат-бот изменяется вторая часть: чат-бота, чат-боту и т. д. Слово нейросеть широко используется в формах единственного числа: создано нейросетью, нейросеть выдала текст, разработана нейросеть и т. п.

В примере из справочника Д. Э. Розенталя глагол побежал обозначает действие, не сопровождающее слова, а следующее после того, как они были сказаны. В Ваших же примерах говорится о мимических и прочих движениях, обычно сопровождающих речь, неотделимых от нее, поэтому рекомендуем оформить их как обычные конструкции с прямой речью, выдвинув глагол в начальную позицию:
— Ирина, вы рассержены? — нахмурил он лоб.
— Придётся брать наугад, — вздохнул он с преувеличенной досадой.
См. также ответ на вопрос № 326441.

Запрета на такое использование квадратных скобок нет. Квадратные скобки используются в специальных текстах, например:
1) для обозначения фонетической транскрипции;
2) для объяснения этимологии слова;
3) при цитировании: для расшифровки сокращений или внесения в текст мелких примечаний, например: Он [Платон Каратаев] сам не знал и не мог определить, сколько ему лет (Л. Толстой);
4) для указания на источник цитирования, например: Типографское назначение пунктуации состоит в «расчленении целого текста на части с тем, чтобы представить текст не как аморфную массу символов, а в виде единиц, быстро и четко различаемых глазом» [Веденина Л. Г., 1975, 156] (Н. Шубина);
5) для того, чтобы избежать употребления двойных скобок одного рисунка, например: добавка «Кола» [краситель «Карамель» (Е150)].

Заглавная и прописная буква — это одно и то же, так называют большую букву. В данном предложении слово запад пишется со строчно́й (маленькой) буквы: квартира на западе Москвы.

Для написания с прописной нет оснований. Корректно: мировой круговорот воды.