Корректно строчными: почетный профессор Московского университета Иванов. Ср.: звание «Почетный профессор Московского университета».
Прилагательное ставится во множественном числе в тех случаях, когда необходимо подчеркнуть, что определение относится к обоим однородным членам. Например: положить мелко нарезанные зелень и мясо (иначе будет неясно, следует ли резать мясо). В приводимом Вами примере такой необходимости нет, поэтому определение может стоять как в форме единственного, так и в форме множественного числа.
Тире следует поставить.
Так можно, но лучше написать началась.
Верно написание строчными буквами, без кавычек.
Возможны оба варианта. Подробнее см. в словарях.
Если название недостаточно освоено русским языком, лучше его не склонять: в поселке Чаганыш. См. в «Письмовнике»: Как склонять географические названия?
Пунктуация верна, однако предложение содержит логическую погрешность: вряд ли знание можно назвать навыком.
