Верно: контроль безопасности здоровья (ср.: безопасность труда).
Мы бы выбрали второй вариант.
Это некорректное сочетание.
Некорректно: неясно, к кому относится местоимение свое (свое здоровье — это здоровье врача или его пациентов?).
Оба варианта корректны.
Для ответа на этот вопрос желателен контекст предложения. Так, если в предложении сравнительный оборот играет роль сказуемого, он не отделяется запятой (см. пункт в) параграфа 90 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина): У него здоровье как у космонавта. В других случаях возможны другие пунктуационные решения.
Тире не ставится, оснований для постановки кавычек также нет.
Согласно словарям русского языка, здравоохранение – охрана здоровья населения, предупреждение и лечение заболеваний, поддержание общественной гигиены и санитарии как система государственных и общественных мероприятий. Применительно к животным термин здравоохранение не следует использовать. Корректно: охрана здоровья животных.
Правильно написать без кавычек и со строчной буквы.
