В обоих предложениях запятые не требуются.
Запятые не нужны. См. «Справочник по пунктуации».
Не просто дождь и плюсовая температура, а погода, и впрямь настраивающая флору на пробуждение.
Пунктуация верна.
Слово ужас в этом предложении выступает в роли сказуемого, а между подлежащим и сказуемым запятая не ставится.
Запятая перед словом узнать не нужна: Я выглянул в окно узнать, какая погода.
Это значит: наступила ясная, солнечная погода.
Правильно раздельное написание, т. к. не смотря в данном случае деепричастие, синонимичное форме не глядя. Предлог несмотря на по значению близок предлогу вопреки. Предложение Он выходит на пробежку вопреки погоде за окном невозможно. Для такого употребления недостает определения с негативным значением при слове погода (он выходит несмотря на то, что за окном плохая погода / вопреки плохой погоде).
Запятая ставится при сочетании согласованных и несогласованных определений (несогласованное определение помещается после согласованного). Верно: Сохранялась прохладная, с небольшими осадками погода.
Да, это название склоняется: погода в Шувом.
