Ваш вариант расстановки знаков препинания корректен.
В предложении ошибка. Правильно: запускай бумажного змея. Змей – одушевленное существительное (в т. ч. об игрушке). См.: Зализняк А. А. Грамматический словарь русского языка. – 5-е изд., испр. – М., 2008.
Как правило, склоняются при отсутствии родового слова.
См. раздел «Горячие вопросы».
Есть причастие с зависимыми словами. Причастного оборота, если под этим термином понимать распространенное определение, нет.