Правильно: Российская армия (см.: В. В. Лопатин, И. В. Нечаева, Л. К. Чельцова. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2007).
Нормативной рекомендации нет. Возможно: Сирийская Арабская армия.
Оба варианта возможны.
Корректно: Я бы советовал молодежи служить в армии; Я бы советовал молодежи идти в армию.
Нет, в данном случае словосочетание «российская армия» должно быть написано со строчной буквы.