Запятые не нужны. См. «Справочник по пунктуации».
Запятая ставится при сочетании согласованных и несогласованных определений (несогласованное определение помещается после согласованного). Верно: Сохранялась прохладная, с небольшими осадками погода.
Запятая перед словом узнать не нужна: Я выглянул в окно узнать, какая погода.
Форма мн. ч. существует, хотя в современной речи употребляется крайне редко.
Предложение синтаксически некорректно, поэтому и знаки препинания расставить не удастся.
Обстоятельственные члены предложения, имеющие в своем составе предлог вопреки, обособляются при подчеркивании их смысла. Выбор пунктуационного решения остается за автором.
Словосочетание лётная погода корректно, оно зафиксировано нормативными словарями русского языка.
Верно: пожелать хорошей погоды.
Поскольку верно: прогноз на какой-либо день, то и в Вашем примере нужен предлог: прогноз погоды на 26 октября.
