Если речь идет о географическом названии (пусть и вымышленном), верно: остров Невезения (по общему правилу). Как название песни – «Остров Невезения».
А вот если какая-нибудь территория будет образно названа Островом невезения, верным будет именно такое написание (в образных названиях с прописной буквы пишется первое слово), ср.: Остров свободы (о Кубе).
Правильно: Васильевский остров.
Представить = предъявить, показать; предоставить = передать. Выберите нужное слово в зависимости от требуемого смысла.
Да, все верно.
Правильно: остров Короля Георга.