Если проект один, то координатор проекта, если проектов много, то координатор проектов. Нормативны оба варианта; Вам решать, какой из них выбрать.
Корректно: заведующая отделом искусства.
При существительных женского рода, зависящих от числительных два, три, четыре, определение, находящееся между числительным и существительным, чаще стоит в форме именительного падежа множественного числа: две (три, четыре) картонные коробки. Но и вариант две (три, четыре) картонных коробки возможен, это не ошибка.
Предпочтителен второй вариант. Нет оснований для написания с прописной буквы.
Указанная запятая нужна.
Все три варианта возможны, мы бы выбрали первый.
Плоды были не на деревьях, не между ними и не на дороге.
См. в Словаре трудностей.
Правильное написание: бедж (именная карточка).