Корректно: застежка-молния, куртка на молнии.
Правильно: на похоронах.
Корректно: о выдвижении кандидата на пост главы города.
Топонимы в сочетании со словом остров обычно не склоняются. Поэтому верно: на острове Сахалин. Подробнее см. в "Письмовнике".
Правильно: на Арбате, на улице Арбат.