Да. Строить - глагол второго спряжения.
Кавычки нужны.
Правильно: управляющий магазином.
Имя Миа не склоняется. Не склоняются мужские и женские фамилии и личные имена, оканчивающиеся на -а с предшествующей гласной. Правильно: у Миа.
Выражение корректно в значении «мужчина владеет магазином».
Правильно: «В торговой сети "Лавка"».
Возможны варианты: «Магазин «Москва», «Магазин "Москва"».