Лучше: проживает.
Здесь приложение относится к одному слову, а не сочетанию, поэтому следует писать через дефис: пять учителей-предметников региона.
Следует писать слитно.
Правильно слитное написание (и согласно правилам, и согласно последнему изданию «Русского орфографического словаря»).
Верно написание всех трех слов с прописной буквы: Кавказские Минеральные Воды.
Запятая не нужна, но лучше изменить порядок слов: Основная задача — оперативное решение вопросов, волнующих жителей региона.
Корректно: Педагоги нашего региона достойно несут почётное звание учителя. Если необходимо подчеркнуть, что слово учитель имеет особый высокий смысл, то можно написать с прописной буквы: звание Учителя.
Правильно: созвездие Рака, в созвездии Рака; на меня надеются.
