Да, такая проверка возможна.
Возможны варианты: грязная дюжина и «грязная дюжина».
В роли сказуемого следует (предпочтительно) использовать краткое прилагательное: Корзина пуста.
Да, в этом случае Долина следует писать с большой буквы.
Запятая нужна.