Корректно: Американо-мексиканская война (с прописной как название исторического события).
Орфографический словарь
Да, нужно.
Правильно раздельное написание: чудовищно жестокая война.
Правильно: Пойду посмотрю «Звездные войны».
Словари фиксируют: вьетнамская война; Афганская война.
Сочетание холодная война пишется без кавычек.