Согласно «Большому толковому словарю русского языка» под редакцией С. А. Кузнецова правильно с предлогом В.
Корректно написание со строчной буквы.
Правильно: В связи с 80-летием (чего?) детского дома.
Корректно: ...дома, расположенного на улице Иванова.
Правильно со строчной: дома культуры.
Фома неверующий – о человеке, которого трудно заставить поверить чему-либо. Оборот пришел из Евангелия. Один из апостолов, Фома, когда ему рассказали о воскресении распятого Христа, заявил: «...если не увижу на руках Его ран от гвоздей, и не вложу перста моего в раны Его, и не вложу руки моей в ребра Его, не поверю».