Правильно: Давай будем писать друг другу письма.
Вы правы, исходный вариант фразы требует доработки.
Сочетание близки друг другу — наиболее вероятное в этом случае. Обратимся к цитатам: «И когда он рассказывал мне о своей жизни, мне казалось, что мы уже давно знакомы и близки друг другу» [Н. С. Покровская. Дневник русской женщины (1932)]; «Юра даже не успел толком понять, так ли уж они близки друг другу» [Анна Берсенева. Возраст третьей любви (2005)]; «Они со школы еще — вроде близки друг другу, но каждый слишком был сам по себе» [И. Н. Вирабов. Андрей Вознесенский (2015)]. Другие примеры можно найти в Национальном корпусе русского языка.
"Обоюдные" и "друг к другу" - дублирующие единицы. Выберите что-то одно.
Оба варианта правильные.
Зане – то же, что «так как, потому что». Это устарелое слово, в современном русском языке оно уже не употребляется.
Следует писать слитно: неотличимые друг от друга.
