Верно: будет пара недель. Слово пара должно стоять в форме именительного падежа.
Можно, но лишь в разговорной речи.
Это существительное.
Корректно: пара Елена Бережная и Антон Сихарулидзе.
Вы написали верно: Значит, тридцать четыре новые пары...
При наличии в составе подлежащего имени существительного со значением определенного количества (тройка, сотня, пара и т. д.) сказуемое ставится в форме единственного числа: пара дней была свободна.
О двух не составляющих пары предметах правильно: двое плавок.