Вы имеете в виду Гавайи (Гавайские острова)? Это склоняемое существительное, правильно: Гавайев, на Гавайях.
Ваш вариант расстановки знаков препинания корректен.
Правильно: работает в должности начальника гаража.
Оба варианта верны.
Правильно: Барак Обама. Обоснование см. здесь.
Предпочтительный вариант: мной, вариант мною допустим, но считается устаревшим.
Предпочтительно: мной, но допустим и вариант мною.
Имя куклы Барби пока не перешло в разряд нарицательных, как, например, петрушка, и пишется с заглавной буквы без кавычек, см. словарную фиксацию. В сочетании играть в Барби по аналогии с играть в куклы имя используется в переносном значении, как название игры. Пока и при таком употреблении заглавную букву нужно сохранять. Подобные примеры в практике письма встречаются, но они немногочисленны.