Предпочтительно: мной, но допустим и вариант мною.
Законы русской грамматики требуют склонять мужские фамилии, оканчивающиеся на согласный звук (а буква й обозначает согласный звук j). Фамилия Горай склоняется по образцу других слов второго (по школьной грамматике) склонения, ср: лай, май, каравай, Дубай и др. Сказать, например, думал о Горай вместо думал о Горае то же самое, что родился в май вместо родился в мае.
Вы имеете в виду Гавайи (Гавайские острова)? Это склоняемое существительное, правильно: Гавайев, на Гавайях.
Ваш вариант расстановки знаков препинания корректен.
Правильно: работает в должности начальника гаража.
Оба варианта верны.
Правильно: Барак Обама. Обоснование см. здесь.
Предпочтительный вариант: мной, вариант мною допустим, но считается устаревшим.
Предпочтительно: мной, но допустим и вариант мною.
