Верно: Не допускать хранения горючих веществ под лестницами. Отвлеченные существительные (например, обозначающие действие) при переходных глаголах с отрицанием употребляются в родительном падеже.
Нет, сочетание по горячим следам в кавычки не заключается.
Да, тире необходимо.