Предлог на указывает направление в сторону какого-либо ориентира (поезд на Москву). Таким образом, ехать на Власиху значит "ехать в сторону Власихи". Если имеется в виду поездка в сам поселок, то верно: ехать во Власиху.
Оба варианта неудачны. Законодательная и исполнительная власть - это и есть две ветви власти.
Выражение некорректно.
Правильно: ...властей предержащих. Подробно об этом сочетании рассказывается в статье Ю. Л. Воротникова.
Оба варианта верны.