Корректно: не брать на себя ответственность за...
Кавычки факультативны. Верно: 90-е.
Корректно: парк "Лосиный Остров".
Кавычки не требуются.
Инициальные аббревиатуры – названия спортивных организаций обычно не заключаются в кавычки.
Если название употребляется в тексте, кавычки нужны: У нас открыли магазин «Мила». В «Миле» самая вкусная кулинария.
Если название указывается на вывеске (без родового слова магазин), кавычки не ставятся.