Словарь показывает модель склонения для сочетания притяжательного прилагательного и существительного мужского рода (ср. Бабий Яр). Следовательно, первая часть топонима изменяется как притяжательное прилагательное мужского рода (так же, как прилагательное отцов), а вторая — как существительное мужского рода (так же, как существительное город): в Часовом Яре, под Часовым Яром.
Возможны оба варианта.
Воспользуйтесь рубрикой "Искать на Грамоте" на нашем портале.
Именно так оформляются "двойные" названия: обе части пишутся с большой буквы, перед или ставится запятая. Другие примеры: Тартюф, или Обманщик; Ирония судьбы, или С легким паром!
Словарь Е. А. Левашова «Географические названия» фиксирует прилагательное часовярский. Но на практике в большинстве случаев используется вариант часовоярский.
Правильно через дефис.
Возможен первый вариант. Или так: На это уходил целый день.