Корректно написание без кавычек: Новая Москва, Большая Москва.
Приведенный вариант лучше не склонять. В остальных случаях возможно: на мерседесе, на москвиче.
Лучше заменить эту конструкцию другим сочетанием. Если это невозможно, то следует писать с двумя дефисами: паблик-арт-программа.
Лучше: нора была глубока, была глубокой.
Требуется дефисное написание.