Орфографическим нормам соответствует написание Русско-азиатский банк.
Правило таково. В названиях организаций с прописной буквы пишется только первое слово и входящие в состав названия имена собственные. Оба компонента первого сложного слова пишутся с прописной буквы в двух случаях: 1) если название начинается с географического определения с первым компонентом Северо-, Западно-, Юго-, Восточно-, Центрально- и 2) если название начинается с прилагательного, образованного от географического названия и пишущегося через дефис. (Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник / Под ред. В. В. Лопатина. М., 2006. § 189, примеч. 1.)
Ср.: Российско-американский молодежный оркестр, Северо-Кавказская железная дорога, Санкт-Петербургский государственный университет.
Правильно: заботится.
Форма единственного числа – инк. Ср.: танки – танк, бланки – бланк, панки – панк.
Правильно: Директору АНО «Центр поддержки предпринимательства "Мой бизнес"».
Запятая нужна, см. Правила.
Кавычки не нужны.
Правильно: ОАО «АК "Транснефть"».