В словах грамотно, грамотей корень грамот. Грамотно и грамматика – не однокоренные, но родственные слова.
Эти формы вариативны. Сегодня чаще употребляется вариант доволен ей.
Верно: Проснулся, понял, что опаздываю.
Забыли про пунктуацию - намеренно? Если так, то фраза возможна.
Для ответа нужно сопоставить английские и русские словари и справочники. Будет проще, если Вы приведете конкретные случаи "неправильности".
Оба варианта некорректны. Верно: уложиться во время.