Если это название части улично-дорожной сети, тогда правильно: аллея Вязов.
В связном письменном тексте корректно: Миссия нашей компании — производить безопасные аттракционы. Первый вариант предполагает другое пунктуационное оформление: Миссия нашей компании: производим безопасные аттракционы. Для этого высказывания характерна пауза между частями и экспрессия рекламного слогана.
Верно: захваченная Италия стала Остготским королевством. В этом предложении не требуются ни скобки, ни кавычки.
Слово том-ям еще не зафиксировано нормативными словарями, но можно предложить предпочтительные варианты, исходя из общей тенденции развития орфографических норм: со вкусом «том-ям»; со вкусом том-яма.
Поскольку сложные слова с первой частью эро не зафиксированы нормативными словарями, следует руководствоваться общим правилом правописания сложных слов с первой иноязычной (интернациональной) частью, кончающейся на гласную. Такие слова пишутся слитно (например, вибромассажер, порнофильм, экокожа).
Если имеется в виду название подразделения, верно написание со строчной: кабинет графики; для использования прописной буквы нет оснований.
Верно: делегация с Кубы. Мы уже отвечали на этот вопрос. См. 204118.