Выражение семейная династия содержит ошибку речевой избыточности (плеоназм). См.:
Большой толковый словарь русских существительных
ДИНАСТИЯ, -и, ж. Перен. Ряд представителей разных поколений одного рода, занимающихся каким-л. общим ремеслом, работающих по одной специальности и передающих от поколения к поколению мастерство, трудовые традиции. Надеюсь, вы меня слышите и готовы подтвердить, что в отличие от нынешнего поколения революционеров вы собираетесь восстановить и продолжить градовскую династию врачей! (В. Акс.).
Рисунок можно назвать победителем, однако не вполне ясно, почему не объявляется победителем автор рисунка, упоминаемый в этом же предложении.
Да, это географическое наименование склоняется.
Уместно множественное число существительного при двух приложениях: соусы тартар и барбекю.
Да, фраза разговорная.
Сочетание аналогичным образом выполняет функцию обстоятельства и не требует обособления.
Имя Дуа не склоняется. Правильно: новая песня Дуа Липы.
Да, кавычки уместны. Они покажут границы названия, оформленного средствами разных графических систем.
Пробел между числом и знаком валюты необходим: 2000 ₽.
Об оформлении реплик в пьесе см. соответствующий раздел справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя. Если речь идет о случае, не описанном в справочниках, нужно привести конкретный пример.
