С точки зрения русского языка оба варианта верны.
Правильно: разыскная система. См. Азбучные истины.
Правильно: цельнокрайный, цельнокрайные. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.
Правильно: не чем иным, как...
Лучше написать так: весь январь был снежным или все январские дни были снежными.
Правильно: никому не известное.
Запятая нужна: многое, многое другое. Возможно также дефисное написание: многое-многое другое. Окончательное решение принимает автор текста.
Обратите внимание: запятая перед и ставится только в том случае, если слова различные выступления под музыку или без нее поясняют слово сценки (т. е. сценки – это и есть выступления). В противном случае (если идет перечисление: сценки, выступления...) надо убрать запятую перед и.
Верно: согласно рейтингу.
Корректно в кавычках, со строчной: «болотное дело».
Лучше написать: ученики 1-го и 2-го класса. Если первых и вторых классов несколько, то лучше писать словами: ученики первых и вторых классов.