Дело не в том, от топонимов ли образованы интересующие Вас названия, а в том, являются ли они именами собственными или уже перешли в разряд нарицательных. Ср. плащ болонья (от названия города Болонья), наган (первоначально: револьвер систимы Нагана; по имени изобретателя) и т. п. 

В настоящее время корректно: соус "Нью-Йорк", картофель "Айдахо" (и картофель айдахо — по аналогии с картофель фри), узел "Аскот". 

В предложении нет грамматических ошибок, то есть случаев некорректного согласования, управления и т. д., однако союз или в пояснительном значении здесь выглядит стилистически неудачным, поскольку в предыдущей части предложения уже есть разделительный союз ли...или, связывающий элементы другого сочинительного ряда. Кроме того, представляется неточным использованное здесь слово противопоставление. Рекомендуется отредактировать предложение, например: Гораздо важнее было, произносится ли текст или поётся, то есть принадлежит он к книжной или к народной словесности.

В русском языке имеется, с одной стороны, союз чтобы, в котором часть бы уже не является частицей, то есть самостоятельным словом, и потому пишется слитно, и, с другой стороны, выражения типа что бы то ни было, кто бы то ни был, где бы — частица, образующая сослагательное наклоние, поэтому пишется раздельно. Что касается что ли, то для этого сочетания нет параллельного союза *чтоли, пишущегося слитно, поэтому принято только раздельное написание.  

Корректно: Сделать это можно, только дав гарантии безопасности. Правило таково.

Деепричастный оборот, в начале которого стоят частицы только, лишь, интонационно не отделяется от предшествующей части предложения (при чтении пауза перед ним не делается), но запятая перед ним обычно ставится: Понять это произведение можно, только учитывая условия его создания; Выучить иностранный язык можно, лишь постоянно занимаясь им. Но (при тесном слиянии оборота со сказуемым): Они встретились только будучи уже взрослыми.

Не вполне уверены, что слово интеграция употреблено верно в данном предложении. Следует иметь в виду, что интеграция предполагает процесс, поэтому сочетание сложившаяся интеграция кажется некорректным. Если народы уже объединены с остальным обществом и занимают в нем ту или иную позицию, которую нужно сохранить, то лучше написать: при сохранении их сложившейся... роли в обществе.

В случае если процесс интеграции еще не завершен, лучше написать: ...при поддержке их... интеграции в общество.

В «Справочнике по правописанию, произношению, литературному редактированию» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой, Н. П. Кабановой указано, что «при наличии в предложении обобщающего слова однородные члены должны согласоваться с ним в падеже». На основании этой рекомендации корректно: Компания имеет представительства в следующих городах: Москве, Санкт-Петербурге, Калуге... 

Но если элементы перечня оформлены отдельными абзацами, уместным представляется уже именительный падеж: 

Компания имеет представительства в следующих городах:

• Москва,
• Санкт-Петербург,
• Калуга... 

Нормативное управление глагола размышлять: о ком-чем. Однако в живой речи нередко встречаются конструкции размышлять над чем: Иногда он даже размышляет над этим вопросом, но он уже отвык размышлять над вопросом другим: кого он воспитывает? [А. С. Макаренко. Книга для родителей (1937)]; На протяжении всего пути до прокуратуры он размышлял над вопросом о двух выстрелах в лжемилиционера [Н. Н. Шпанов. Ученик чародея (1935-1950)]. На наш взгляд, такое употребление грешит разговорностью.

Допустимы оба варианта.

Раньше слово бигуди склонять не разрешалось. Но постепенно склонение этого слова стало нормативным, и сейчас наблюдается такая картина: в одних словарях бигуди по-прежнему дано только как несклоняемое существительное, в других склоняемый и несклоняемый варианты даны как равноправные, а в третьих (к ним относится, например, Большой академический словарь русского языка) склоняемый вариант (с помощью бигудей) уже признается предпочтительным, а несклоняемый (с помощью бигуди) – допустимым, но устаревающим.

Прилагательное конченый пишется с одной н. Словари ограничивают сочетаемость такого прилагательного: нейтрально и общеупотребительно его использование в сочетании конченый человек — «человек, ни на что больше не способный, от которого уже ничего нельзя ждать в будущем». В обиходно-разговорной речи сочетаемость, конечно, шире и значение другое, близкое к «дурацкий», «идиотский», «ненормальный». Представляется, что такое расширение значения и сочетаемости слова не должно влиять на орфографию, корректно и в этом случае написание с одной н.

Это слово уже кодифицировано словарем «Новое в русской лексике»: бе́нто-то́рт, а. м. сущ. [бэ́].

Это неосвоенное, редко употребляемое слово, полукалька от английского bento cake (само слово bento пришло из японского). Поскольку слово употребляется редко и оно обозначает не очень распространенный, мало известный десерт, то и ударение сохраняется такое, как в английском, то есть на первом слоге (люди как бы произносят первую часть слова по-английски).