Верно: Была пара моментов.
Верно: ДТП, которого можно было избежать.
Верно: нет ни одной церкви, где бы не было его иконы.
Правильно: были рационализм и прогресс.
Правильно: Сколько бы нам ни было лет...
Если бы в русской грамматике не было термина приложение, его следовало бы придумать и ввести в научный оборот.
Да, по мнению некоторых лингвистов (например, Н. М. Шанского), слова берег и беречь этимологически связаны друг с другом.
Слово берег восходит к индоевропейской основе *bherg'hos и имеет соответствия в других индоевропейских языках: ср. нем. Berg 'гора', норв. berg 'гора; горная цепь', исл. bjarg 'скала, утес', арм. berj 'высота', т. е. первоначальное значение этого индоевропейского корня – 'высота, возвышение', затем – 'гора, гористый берег' и – уже в общеславянском языке – 'берег' вообще (ср. в русских говорах гора – 'возвышенный берег', дорога горой – 'по высокому берегу реки').
Слово беречь восходит к общеслав. *bergti, исходное значение которого – 'прятать, укрывать, защищать'. Этот глагол тоже имеет соответствия в других индоевропейских языках, ср. нем. bergen 'прятать, закрывать'. Ученые предполагают, что он восходит к той самой индоевропейской основе *bherg'hos. Развитие значения, возможно, шло следующим образом: 'гора' > 'убежище' (гора, углубление в горе служили средством защиты, местом, где можно спрятаться).
Прилагательное от Крымск тоже звучит как крымский.
