Лучше так: Они были неправы - вот в чем проблема. Это был мой брат - вот кто это сделал.
На мягкий знак могут оканчиваться и существительные мужского рода (гость, огонь, кабель), и существительные женского рода (кость, ночь, ель). Единого правила нет. Носители языка обычно без труда запоминают род слов, узнавая эти слова в детстве, для взрослых людей трудности связаны лишь с несколькими словами (тюль, толь, шампунь, рояль). При изучении русского языка как иностранного род каждого слова приходится запоминать.
Да, мужская фамилия Кот склоняется.
Теоретически такая пунктуация возможна. Но для ответа на Ваш вопрос нужно знать контекст. Может быть, тире нужно в другом месте, может быть, не нужно вовсе.
Запятая не нужна.
Правильно: Шевчуку.
Запятая не нужна.
Суффиксы: -оч- и -к-.
