Правило звучит так: в составных названиях важнейших документов и сборников документов, государственных законов, а также архитектурных и других памятников, предметов и произведений искусства с прописной буквы пишется первое слово и собственные имена. Но при этом начальное родовое наименование в подобных названиях архитектурных и других памятников, произведений искусства пишется со строчной буквы. Ср.: дворец Белосельских-Белозерских (дворец — родовое слово), но Дворец конгрессов, Дворец наций (Дворец — первое слово названия). Сложность как раз в том, чтобы определить границы имени собственного, не всегда это можно сделать легко и последовательно.

В приведенных Вами примерах корректно: палаццо Колонна, дворец Александра III в Массандре (ср.: Массандровский дворец), Арсенальная комната Царскосельского дворца (может, использовать современное название — Екатерининского?), парадная анфилада Царскосельского дворца, Малый Трианон, центральный вестибюль замка Шамбор, вилла «Черный лебедь», вилла «Ротонда». 

Сложнее всего, кажется, с названием д/Дом ф/Фавна. Возможно написание дом Фавна (тем более в ряду перечисления других домов  в Помпеях), но в условиях контекста может быть уместно использовать прописную как раз в первом слове, чтобы избежать модели «дом, принадлежащий...» и подчеркнуть, что речь идет о памятнике архитектуры.

Корректно: Организационные и правовые особенности деятельности органов внутренних дел в особых условиях (в рамках специальных правовых режимов).  

В данном случае запятые между определениями ставятся потому, что второе из них поясняет первое, раскрывая его содержание (возможна вставка слов то есть, а именно). См. параграф 41 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.

1. Цитату, вынесенную в заголовок, следует заключить в кавычки. Если же цитата выносится в эпиграф, то кавычки не ставятся.

2. Корректно: как говорили чеховские сестры...

3. Лучше: ...незаметно посмотрел под стол.

Как свидетельствуют корпусные данные, такое «парцеллированное но» распространено не только в сетевом общении, но и в художественных и публицистических текстах, где — совершенно очевидно — этот стилистический приём вполне нормален. Он придает тексту выразительность, а также помогает сделать акцент на определенной части высказывания. 

Именно так: допустИм, но неудачен. 

Правила согласования сказуемого с однородными подлежащими имеют много нюансов (в частности, форма сказуемого зависит от формы связи между однородными подлежащими), но общие рекомендации не изменились: при нормативном порядке слов (сказуемое после подлежащего) сказуемое ставится во множественном числе, при обратном порядке — сказуемое употребляется в единственном числе.