От имен Гаврил, Гаврила, Гаврило образуется только одна форма отчества – Гаврилович, Гавриловна. А от имени Гавриил образуются двоякие формы отчеств – Гавриилович, Гаврииловна и Гаврилович, Гавриловна. И формы с И, и формы с ИИ соответствуют нормам русского языка. Имя Гавриил, действительно, входит в список исключений. См.: Суперанская А. В. Словарь русских личных имен. М.: Эксмо, 2004.

Верно: Беловежская Пуща. Противоречия с правилами нет, т. к. мы не можем сказать, что слово пуща употребляется только как родовое наименование, не передавая дополнительных смыслов: все же Беловежская Пуща – это не просто название некоего леса (основное значение слова пуща – обширный густой лес), а наименование природного заповедника, территории, обладающей особым историческим и культурным статусом.

Отметим, что орфографические словари предназначены именно для того, чтобы фиксировать частные орфографические случаи (в отличие от свода правил правописания, описывающего общие закономерности письма), регламентировать написание конкретных слов и словосочетаний. Фиксация в орфографическом словаре означает, что данное написание является нормативным и в дальнейшем обращении к правилам правописания уже нет необходимости.

Отдельного орфографического правила, регламентирующего написание названий банд, нет. Но вполне можно руководствоваться общим правилом, которое гласит, что в названиях, состоящих из родового наименования и наименования, не сочетающегося с ним синтаксически, последнее заключается в кавычки, в нем пишутся с прописной буквы первое (или единственное) слово и собственные имена: банда «Черная кошка».

Вы написали примеры таким образом, что неясно, где начало каждого предложения, а где конец. Поэтому приведем общее правило. Если в сложном бессоюзном предложении вторая часть указывает на причину того, что описано в первой части, между ними ставится двоеточие. На практике двоеточие часто заменяют на тире, и это не считается ошибкой.

Если это правило не подходит для Вашего случая, пожалуйста, пришлите предложения в более понятной форме.

Эти слова не стали фактами современного литературного языка (их нет в нормативных толковых словарях), поэтому по правилам игры "Балда", опубликованным на нашем портале, такие существительные в игре не используются.

Орфограммой является окончание из сумки, так как гласный окончания безударен. 

Пунктуация верна.

В таких предложениях ставится тире, поскольку подлежащее и сказуемое выражены существительными: Эксплуатация бака возможна только в закрытых отопительных системах, так как материал бака — сталь. Материал корпуса — латунь с каким-нибудь напылением.

В специальных текстах (на этикетках, в технических описаниях товаров и т. п.) в предложениях, как второй Ваш пример, может ставиться двоеточие: Высота: 1600 см. Материал корпуса: латунь с каким-нибудь напылением. Страна производства: Россия.