Для точного ответа требуется контекст. Скорее всего, кавычки нужны, так как словарное значение слов живой уголок — "специальное место (обычно в учреждении), где содержатся животные, птицы", а в Вашем случае эти слова используются в особом, условном значении. Кавычки точно нужны, если Вы хотите подчеркнуть ироническое значение этого сочетания.

Наречие домой – результат видоизменения древнерусского домови, формы дательного падежа единственного числа существительного дом: домови > домои > домой. Точно так же образовалось слово долой, восходящее к долови, это форма дательного падежа единственного числа существительного дол 'низ': долови > долои > долой (долой буквально – «вниз»).

Степеней у придаточных предложений не бывает. Но бывают придаточные предложения меры и степени, возможно, Вы имеете в виду их? Придаточное меры и степени – это придаточное предложение, отвечающее на вопросы насколько? в какой мере?  до какой степени? и указывающее на степень качества или степень действия. Например: Сильвио был слишком умен и опытен, чтобы этого не заметить.

Если ответить коротко, то это предложный падеж, а если более подробно и точно, то это так называемый местный падеж (локатив) – одно из подзначений предложного падежа. См. ответы на вопросы № 263338 и 264234.

Принято считать, что предлог до (такой-то даты) используют, если не включают дату во временной промежуток, а предлог по используют, если хотят подчеркнуть, что дата включается в указанный период. Но ни в одном словаре такое различие между предлогами до и по не проводится, ни один справочник это мнение не подтверждает. Таким образом, оба варианта – акция до 15 числа и акция по 15 число – точно не указывают, включается ли 15 число в данный период. Лучше оговорить это отдельно, например: с 1 до 15 декабря включительно или с 1 по 15 декабря включительно.

Правильно раздельное написание, т. к. имеется зависимое слово: не реализованные (где?) в игре.

Знаки препинания в предложении расставлены верно. Поставить запятую после но будет ошибкой.

Это правило не распространяется на написание фамилий. В русских фамилиях на шипящий + -ов (-ёв) пишется о или ё в соответствии с традицией и с регистрацией в официальных документах.

Если ответить коротко, то это предложный падеж, а если более подробно и точно, то это так называемый местный падеж (локатив) – одно из подзначений предложного падежа. См. ответы на вопросы № 263338 и 264234.

Запятая нужна и в первом случае: Организации, осуществляющие продажу. Правило то же: определительный оборот, стоящий после определяемого слова, выделяется запятыми (или отделяется запятой, как в данном примере).