Верно: за полярным кругом. Но: за Северным полярным кругом, за Южным полярным кругом. См. «Русский орфографический словарь».
Тире поставлено правильно: обособляется пояснительный член предложения. См. § 82 в «Правилах русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.
Названия художественных стилей пишутся со строчной буквы, ср.: ампир, барокко, готика. Поэтому обсуждаемое название тоже корректно писать строчными, а вот кавычки уместны, чтобы показать цельность наименования: «большой стиль».
Сочетание в целом не выделяется запятыми.
При слове семья иноязычная фамилия обычно ставится в форме единственного числа: семья Фурдык.
Запятая не нужна.
Верно: Игрушка полезна детям, так как, прыгая, ребенок укрепляет мышечный корсет..
Запятая перед без не требуется.
