Корректно написание со строчной буквы: южная столица Кузбасса. Это описательный оборот, он пока не воспринимается как образное название.
Правильно: В связи с 80-летием (чего?) детского дома.
Если предлог по используется при обозначении действия, события, после которого что-либо совершается, происходит, то он употребляется с существительными в предложном падеже: по окончании, по прибытии, по прилете, по приезде.
Вы написали правильно. В сложных словах первая часть онлайн- пишется через дефис.
Корректно написание через дефис по правилу о сочетаниях с однословными приложениями, предшествующими определяемому слову, ср.: старик-отец, красавица-дочка, умница-сын, герой-лётчик, мудрец-писатель, проказница-мартышка, самодурка-мачеха, трудяга-следователь, профан-редактор, пройдоха-управляющий. Такие приложения носят оценочный характер. Однако заметим, что в некоторых руководствах по правописанию рекомендуется писать подобные сочетания без дефиса. Эта рекомендация является устаревшей.
Слово не зафиксировано в академическом русском орфографическом словаре, но благодаря Вашему вопросу при следующем пополнении словарной базы будет добавлено туда — в слитном написании.
Правилен второй вариант. Быстро тающее представляет собой сочетание наречия с причастием, а не сложное прилагательное. Глагольные признаки формы тающее актуализируются благодаря относящемуся к ней обстоятельству на солнце.
Корректно: Первая книга Царств, Вторая книга Царств и т. д. См. также ответ на вопрос № 272380.
Правильно: сергиевопосадские школьники.
Частица не с причастием, имеющим зависимое (поясняющее) слово, пишется раздельно.
