Верно: одни наушники. В разговорной речи допустимо: пара наушников.
Запятая не нужна, поскольку слова "как дома" представляют собой именную часть сказуемого.
Корректно: петергофский Большой дворец, Большой дворец Петергофа.
Верно: Ирина и Николай Шаркович.
Запятая не нужна. Стара как мир – устойчивое выражение.
Слово Минпромторг употребляется как существительное мужского рода. На родовую принадлежность влияет внешний облик этого слова: оно «похоже» на обычное имя существительное второго (по школьной грамматике) склонения. По опорному слову министерство в данном случае мы род не определяем. Ср.: вуз открылся (хотя заведение), ТАСС уполномочен заявить (хотя агентство).
Притяжательные прилагательные надо писать с прописной: Ирина тетрадка, Мишина машина.
