Написание в кавычках не будет ошибочным, решение в данном случае за автором текста. Но мы рекомендуем всё-таки не заключать сочетание горячая линия в кавычки. Это сочетание уже не является необычным, непривычным, оно зафиксировано словарями русского языка, причем зафиксировано в написании без кавычек (см., например: Большой академический словарь русского языка. Т. 9. М., СПб., 2007. С. 202).

Правила 1956 года – тонкая книжечка, в которой невозможно было бы описать все возможные орфографические нюансы и трудности пунктуационного оформления. Если мы будем пользоваться только книгой «Правила русской орфографии и пунктуации», изданной в 1956 году, мы просто не сможем писать, редактировать и корректировать современные тексты.

Разумеется, если слова автора связаны с прямой речью, они будут оформляться по общим правилам. Речь идет о ситуации, когда такой связи нет (и это довольно редкий случай). По сути, то, что мы называем «словами автора», в этом случае является самостоятельным предложением, которое следует за прямой речью, но никак с ней не связано.

Наречие наудачу пишется слитно, обстоятельство, выраженное этим наречием, не обособляется. Однако в приведенном Вами примере это слово употреблено неправильно. Значение наречия наудачу: 'надеясь на благоприятный случай; без предварительного обдумывания, выбора и т. п.', например: действовать наудачу, сказать наудачу, вытащить билет наудачу. Сочетанию предлога с существительным на удачу (например: надеяться на удачу) в этом предложении тоже не место. Возможный вариант: К счастью, в их квартире и у соседей никого не было.

Слова по счастливой случайности могут быть обособлены, особенно если стоят в середине предложения, ср.: Я потеряла сознание ненадолго, голова, по счастливой случайности, была почти не ушиблена, ранений много, но легкие. В. Каверин, Открытая книга. В начале предложения эти слова чаще не отделяются запятой. Но ошибкой эта запятая не будет.

Да, по общему правилу запятая не требуется: Даже упавший светофор продолжал работать. Но запятая ставится, если определение имеет добавочное обстоятельственное значение: Даже упавший, светофор продолжал работать (=светофор продолжал работать, несмотря на то что он упал). 

Лучше: отобрано четверо животных. Обратите внимание: наречие наудачу в значении «надеясь на благоприятный случай; без предварительного обдумывания, выбора и т. п.» пишется слитно.

Нет. В описанном случае следует сказать: Я потерял к вам доверие и больше не хочу здесь ничего покупать.

В практике письма наблюдается разнобой, но всё-таки справочные пособия рекомендуют писать Его Величество с прописных только при официальном титуловании. В переносном употреблении корректно строчными: его величество случай, его величество возраст, ее величество вечная мерзлота и т. д. Ответ на вопрос № 258707 исправлен.

Большинство словарей рекомендуют склонять только вторую часть: гоголь-моголя, гоголь-моголю и т. д. Напишем главному редактору «Большого толкового словаря» С. А. Кузнецову.

Корректно: его величество случай. Прописные буквы употребляются, если речь идет о титуле монарха.

Правила оформления прямой речи не менялись. Если после прямой речи стоит вопросительный, восклицательный знак или многоточие, слова автора всё равно начинаются со строчной буквы: «Да проститься же надо было!..» — понял он, когда крытая машина взбиралась уже на взвоз (Шукшин); «Голубоглазый мой ангел-хранитель, что ты смотришь на меня с такой грустной тревогой?» — хотел иронически сказать Крымов (Бондарев).

Правда, есть один частный случай, когда прописная буква после прямой речи всё-таки возможна. В справочнике Д. Э. Розенталя «Пунктуация» приведено такое правило: если авторские слова, стоящие после прямой речи, представляют собой отдельное предложение, то они начинаются с прописной буквы:

— Скорей, загорелась школа! — И он побежал по домам будить людей.

У глаголов с ударными личными окончаниями спряжение определяется по окончаниям. Глаголы кричать, свистеть, гореть относятся ко II спряжению и разноспрягаемыми не являются. См. «Горячие вопросы».

Разноспрягаемые глаголы — термин, закрепленный школьной традицией. Значение его и, соответственно, перечень глаголов, относящихся к разноспрягаемым, определяется по-разному.

1. Разноспрягаемые глаголы — это глаголы, образующие одни формы по первому спряжению, а другие по — второму.

При таком понимании термина к разноспрягаемым относятся глаголы бежать, хотеть. См.: бежишь, бежит, бежим, бежите, но бегут; хочешь, хочет, но хотим, хотите, хотят. Иногда называют еще глаголы чтить и блестеть, которые имеют вариантные окончания: чтят и чтут, блестишь и блещешь, блестит и блещет, блестим и блещем и т. д.

2. Разноспрягаемые глаголы — это глаголы, имеющие в одних формах окончания I спряжения, а в других — II спряжения или имеющие особые окончания.

Сторонники такого подхода относят к разноспрягаемым глаголы бежать, хотеть, а также дать, есть, надоесть, создать, чтить и их производные. См., например: да/м, да/шь, да/ст; е/м, е/шь, е/ст, надое/ст, созда/м. 

Иногда к разноспрягаемым относят глагол брезжить, который в личных формах имеет окончания II спряжения (брезжит, брезжат), но причастие образует с помощью суффикса, характерного для глаголов I спряжения (брезжущий).

См. также учебник Е. И. Литневской.