Слово неукоснительно описывается как имеющее корень с чередованием именно потому, что в нем есть корень с чередованием. Правило таково: в корне кас/кос пишется а в словах с суффиксом -а-, в остальных случаях пишется о. Слова с корнем кас-: касаться, прикасаться, соприкасаться, касание, касательная, касательно, касательство, прикасание. Слова с корнем кос-: коснуться, неукоснительный, прикосновение, неприкосновенный, неприкосновенность, соприкосновение, соприкоснуться, соприкосновенный.

В слове коса (с.-х. орудие) представлен омонимичный корен кос-, в нем нет чередования. 

Правильно: Первая мировая война, оружие Первой мировой войны, оружие Первой мировой.

См. также ответ на вопрос № 257105.

Так говорить нельзя. Прямое указание содержится, например, в словаре М. В. Зарвы «Русское словесное ударение»: пов. поезжай и (разг.) езжай [не едь, ехай]. Чтобы убедить мужа, можно воспользоваться печатной или электронной версией словаря. (Если возникнет вопрос об авторитетности словаря: словари, составленные М. В. Зарвой и Ф. Л. Агеенко, несколько десятилетий считаются эталонными справочниками для работников эфира, дикторов радио и телевидения, речь которых должна быть образцовой.)

Пятая колонна – публ. неодобр. тайные агенты врага – шпионы, диверсанты; предатели, изменники. Выражение родилось в годы войны в Испании (1936–1939) и принадлежит генералу франкистской армии Эмилию Мола. Во время наступления на Мадрид осенью 1938 года он по радио сообщил защищавшим город республиканцам, что кроме четырех армейских колонн располагает в Мадриде еще и пятой колонной. Так он назвал сеть тайных агентов, шпионов, а также сочувствующих франкистам предателей, которые действовали в городе.

Запятая поставлена правильно.

Нам неизвестен словарь, в котором у слова навзничь отмечено значение 'на спину или грудь'. Навзничь означало и означает 'опрокинувшись на спину, вверх лицом' (см. данные разных словарей). Слово с противоположным значением – ничком 'лицом вниз (о лежащем)'. Наречие плашмя толкуется так: 'плоской стороной'. Примеры: Ударить шашкой плашмя. Упасть, лежать плашмя (всем телом, навзничь или ничком). Об истории слов навзничь и ничком можно послушать в передаче портала «Грамота.ру» и радио «Культура» «Игра слов».

Корректно: Такие задумывающиеся люди вслух или про себя задаются вопросами: что есть свобода? какая моя личная свобода? что стоит, а чего не стоит делать ради своей свободы?

Доверять можно обоим словарям. Важно помнить, что у них разный адресат и разные цели. «Русское словесное ударение» – словарь, адресованный в первую очередь работникам эфира. В словарях, адресованных работникам радио и телевидения, в подавляющем большинстве случаев варианты не даются, выбирается только один вариант, рекомендуемый для эфира.

Что касается ударения в слове обнял: предпочтительно обнял (поэтому этот вариант рекомендуется для употребления в эфире), но допустимо (т. е. менее желательно, но тоже правильно) и обнял (поэтому этот вариант есть в орфографическом словаре).

Первая часть сложных слов медиа... пишется слитно. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012. Раздельное написание не соответствует орфографической норме.

1. Такое употребление не соответствует литературной норме.

2. Нет.