Правильны два варианта: по обе стороны и по обе стороны. См.: Каленчук М. Л., Касаткин Л. Л., Касаткина Р. Ф. Большой орфоэпический словарь русского языка. М., 2012.

Склоняются обе части в наименовании Москва-река: Москвы-реки, на Москве-реке и т. д. В разговорной речи встречаются случаи несклоняемости первой части: за Москва-рекой, на Москва-реке и т. д. Но такое употребление не соответствует строгой литературной норме.

Обе фразы возможны, но у них разный смысл. Футбол ждут перемены – футбол будет меняться. Футбол ждет перемен – футбольный мир ждет, когда что-то изменится (все в ожидании перемен).

Приложения имеют уточняющий характер и выделяются запятыми. Обе указанные запятые нужны.

Запятая между частями сложносочиненного предложения (перед и) не ставится, так как обе части представляют собой побудительные предложения.

Обе фразы грамматически верны.

Да, обе запятые поставлены правильно.

Склоняются обе части этого слова, форма именительного падежа мн. числа: кресла-качалки.

Обе запятые в предложении поставлены правильно.

Склоняются обе части названия: из Спасского-Лутовинова, в Спасском-Лутовинове.