Корректно: педагогически не обоснованные методы (= не обоснованные с какой точки зерния?).

При наличии зависимого слова причастие (а обжитой — причастие от глагола обжить) пишется раздельно с не.

Корректно: в Кавминводах. Кавминводы — район, регион (в районе, в регионе).

Мы не выполняем домашние задания.

Написание вариативно: человек небольшого (= малого) ума; человек не большого (= не слишком большого) ума.

Исторически верное написание — душею (звук [ш] был мягкий, после ш произносилось е). В современном церковнославянском тексте Библии используется историческое написание душею. В синодальном переводе Библии на русский язык (закончен и издан в 1870-х гг.), который утвержден Русской православной церковью для домашнего чтения, также пишется душею (что, видимо, предполагает архаическое произношение с е), хотя в светской орфографии 1870-х гг. в окончаниях существительных после шипящих под ударением уже решительно преобладало написание о (см. Грот Я. К. Русское правописание. СПб., 1885. С. 39). Написание душою, душой характерно для более поздних переводов Библии на современный русский язык, использующих современную орфографию и отражающих современное произношение.

О двух концах — несогласованное определение (палка какая?).

Мы не предоставляем такие услуги.

Нет, это не словосочетания, а безличные предложения. Ни полезно, ни нужно в сочетании с инфинитивом не могут быть ничем, кроме слов категории состояния. (В случаях типа Молоко полезно, особенно детям, или Такое объяснение очень нужно и полезно, или Чтение полезно, Учеба нужна эти слова являются краткими прилагательными, и это тоже предложения, но двусоставные. Омонимичных этим словам наречий вообще не существует.) Естественная среда функционирования слов категории состояния — безличные предложения.

Главное, что нужно понять: в случаях Читать полезно, Учиться нужно нет наречия, которое должно обозначать признак действия. Поэтому и словосочетания нет. Вот, скажем, в случае читать быстро, читать тихо мы наблюдаем именно наречия, которые действительно обозначают признак действия по глаголу читать. Поэтому мы можем сказать, что читать быстро = читать быстрым образом, но не можем сказать, что читать полезно = читать полезным образом. Способы читать быстро (или, наоборот, медленно), тихо (или, наоборот, громко) существуют; но не существует способа читать полезным (или неполезным) образом.

Предложения что... пассажирам придётся идти пешком и что при плохих погодных условиях рейс выполняться не будет однородны (оба они относятся к глаголу предупредил). Наличие соотносительного то всего лишь мешает постановке запятой на месте (2).