Правильно только: базироваться на чём-либо.
Предложение написано верно.
В этих примерах деепричастный оборот имеет значение образа действия, тесно связан по содержанию со сказуемым и образует смысловой центр высказывания. Подобные деепричастные обороты не обособляются (см. примечание 1 к параграфу 20.4 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя): необходимо использовать не касаясь руками; ...позволяет пользоваться тряпкой не касаясь руками (важно не то, что тряпкой пользуются, а то, каким образом пользуются).
Да, можно.
Как правило, слова тем не менее не выделяются. В приведенном примере корректно без запятой.
Верно: к 2020 году.
Корректно: Директору ГБОУ "Лицей № 101".
Правильно: с Садовским. О правилах употребления предлогов типа с и со можно прочитать в «Письмовнике».
Эти предложения корректны, так как в них деепричастный оборот соотносится с двусоставной грамматической основой.