Пунктуация зависит от того, к чему относятся слова в том случае. Если к глаголу доказываем, то запятая нужна. Если к запрещен, то не нужна.
Верно: Использовать как в первый раз, так и во второй (то же, что: Использовать и в первый раз, и во второй).
Само по себе сочетание во имя чего-либо не требует постановки знаков препинания. Постановка запятых может быть обусловлена синтаксическим строем предложения.
Корректно: ...во избежание или для преодоления этого препятствия...
В значении "мяч находится где-либо" - мяч лежит: Где лежит мяч? Мяч лежит на месте.
Оба варианта верны.
Знаки препинания не требуются.
Верно: Луна во Льве.
Правильно слитное написание: Дайте мне бумагу, чтобы я рисовала.
Ракетоноситель буквально значит "носитель ракеты" (например, о самолете, несущем ракеты). Это слово часто употребляют ошибочно вместо сочетания ракета-носитель (т. е. ракета, служащая носителем для космического аппарата).
