В этом случае правильно написание строчными, т. к. не приводится полное официальное название учреждения.
Всё верно, ошибки нет.
Постановка тире не требуется.
Лучше исправить, например: ...есть заслуга...
Слова в большинстве своем не выделяются запятыми.
Да, слитное написание правильно. Если это не церковно-религиозный текст, нормам орфографии отвечает написание Грузинская православная церковь.
Нужна запятая перед союзом что.
Да, после вводного слова в частности ставится запятая.
Если обстоятельство в большинстве случаев относится только к первой части предложения, то запятую нужно поставить. Если обстоятельство является общим (то есть относится не только к первой, но и ко второй части), то запятая не нужна.
Корректно: А потом, не сговариваясь, оба поехали поступать в медицинский институт в Нижний Новгород.