Слово катавасия (таково правильное написание) в знач. 'суматоха, суета, беспорядок' принадлежит к разговорной речи. Насколько оно уместно на сайте (и насколько уместна языковая игра – написание котовасия), зависит от редакционной политики издания.

Наречие запоем 'не отрываясь, увлечённо' не имеет других форм, поэтому в нейтральном употреблении такая конструкция невозможна. Но как языковая игра, как шутка, как экспрессия — почему бы и нет?

Большая.

А если интересны подробности, то прочитайте книгу М. В. Панова «И все-таки она хорошая. Рассказ о русской орфографии» 1964 г. Пользе орфографии будет посвящен один из ближайших выпусков передачи «Игра слов». 

В русском языке прилагательное скоропостижный обычно употребляется, когда речь идет о смерти. Сочетание скоропостижное решение возможно в каких-то стилистических целях (как языковая игра, ирония, шутка, намек на что-либо и т. д.). О решении можно сказать скоропалительное.

У слова семинарист в русском литературном языке только одно значение: ученик семинарии. Как языковая игра такое употребление («семинаристы» в значении 'участники семинара') допустимо, но тогда обязательны кавычки, указывающие на использование слова не в своем обычном значении.

Прилагательное от Овен в нормативных словарях русского языка не зафиксировано. Приведенные Вами варианты имеют право на существование как языковая игра, в шутливых, в обиходно-разговорных контекстах, но в нейтральном употреблении придется использовать описательную конструкцию, например: черты, характерные для Овнов.

Если эти слова употребляются как часть официального названия государства, правильно с прописных, например: против Исламской Республики Иран. Если же они выступают в обобщенном значении 'форма государственного устройства', следует писать строчными, например: он выступал против исламской республики, за исламскую монархию.

Часть сложных слов секс- пишется через дефис. Ср.: секс-символический. Однако перед нами языковая игра. Создан окказионализм на основе слова, которое пишется слитно. Таким образом, слитное написание тоже оправданно.  Дефисное написание облегчает восприятие, делает игру более заметной. Решение принимает автор слова.

Есть словарная фиксация в последнем издании «Русского орфографического словаря»:

фейр-плей, нескл., ж. (спорт.)

Это сочетание употребляется не только в буквальном смысле «честная игра», но и в более широком значении, которое можно передать приблизительно так: соблюдение спортивных принципов; поведение, основанное на честности и открытости.