Ошибку можно охарактеризовать как речевую, так как грамматически конструкция работать с корректна (ср.: работать со словарем, с коллегами, с анкетами), однако зависимое слово в ней выбрано неудачно. Это проблема лексической сочетаемости. Нормально выражение заниматься домашними делами.
Верен первый вариант.
При подлежащем, воспринимаемом как одно целое, сказуемое обычно ставится в единственном числе.
Корректно: С тех пор машинами обзавелись 174 семьи.
Предложение необходимо перестроить в сложноподчиненное: Символично, что накануне Дня семьи, любви и верности прошла церемония награждения семей-юбиляров. Без этого предложение выглядит аграмматичным.
Использование единственного числа для обобщающего определения «новую» с однородными членами «семью» и «культурную среду» вполне корректно.
