Можно поднять и повысить планку, удержать планку. Кавычки не нужны.
Обычно используют выражения дать старт (чему-либо), но положить начало (чему-либо).
Правильно: положить в папку. Слова покласть нет в русском литературном языке.
Слова продлять не существует, верно: продлевать (несовершенный вид) – продлить (совершенный вид).
Лучше: подписаться под заявлением, расписаться на заявлении, поставить подпись в заявлении.
Да, такая подпись корректна. Указания слева/справа ориентируются на взгляд смотрящего.
Корректно: телефон лежит в изголовье; положить в изголовье; склониться у изголовья больного.
Можно, но нужно помнить, что это разговорное слово с яркой экспрессивной окраской.
Корректно: Но нужно помнить: нарушение точности приводит к тому, что мысль искажается.