Деепричастного оборота здесь нет. Есть определительный оборот полные оптимизма, стоящий после определяемого слова банки, его необходимо обособить: Банки, полные оптимизма.

Прошел проверку и принят — однородные сказуемые, которые соединяются союзом и. В этом случае запятая перед и не ставится.

Варианты: клиент премиум-категории, премиум-клиент.

Для написания этих слов с большой буквы нет никаких оснований.

Кавычки не нужны, запятые тоже излишни.

Нет, эти союзы повторяющимися не являются. Возможны следующие повторы либо... либо, или... или, ли... ли. При повторяющихся союзах запятые ставятся между однородными членами:  ...Генерал предстает либо как действующее лицо, либо как прототип героя (Е. Водолазкин).

Также возможно сочетание союзов ли... или: По ходу дела ее спросили, не является ли она сотрудником или хотя бы экспертом каких-либо французских фондов. (Е. Водолазкин). Если союзами связываются однородные члены, то запятая не ставится. Если же соединяются части сложного предложения, то запятая необходима. Ср.: Не знаю, искренни ли они со мною теперь, или это только благородная память о прошлом? (Л. Чуковская).

В приведенной фразе запятые не нужны. Обратите внимание: фраза будет более понятна, если использовать повторяющийся союз: Получать пенсию можно одним из способов: на дому, либо в кассе доставочной организации, либо на свой счет в банке.

Без кавычек следует писать слова Внешэкономбанк и Сбербанк, остальные – в кавычках. Подробнее см. в «Письмовнике».

Правило таково. В названиях, начинающихся с географических определений, географическое определение пишется с прописной буквы, если входит в состав официального названия, и со строчной, если не входит в состав названия. Если слово омский – первое слово официального полного названия, его надо писать с большой буквы.

Корректно: Тридцать один крупнейший американский банк прошел стресс-тест.